Haros – Chuquet – Farey

Puede que el origen de la sucesión Haros – Chuquet – Farey esté en un problema publicado en la revista “The Ladies Diary: or, the Woman’s Almanack” en 1.747 que decía:

 

¿Cuántas fracciones (no negativas) diferentes existen de forma que el denominador sea menor que 100 y el numerador menor o igual que el denominador?

 

Lo confirmado es que en 1.801 Charles Haros publica “Instruction abrégée sur les nouvelles mesures qui doivent être introduites dans toute la République, au 1er vendémiaire an 10 : avec des tables de rapports et de réductions” para ser utilizado por el gobierno francés en la elaboración del catastro. En el documento aparecen descritas las tablas de conversión para estimar una fracción ordinaria y encontrar una fracción más simple basándose en un algoritmo descrito por Nicolas Chuquet.

 

Quince años más tarde, en 1.816, Farey escribió una carta publicada como “Démonstration d’un Théorème Curieuxsur les Nombres” en la revista ”Société Philomatique” de Paris, respecto de fracciones aplicables en tablas para sustancias químicas, donde indica:

 

“Je ne sais pas si cette curieuse propriété des fractions vulgaires a déjà été signalée; ou s’il peut admettre une démonstration facile ou générale? quels sont les points sur lesquels je serais heureux d’apprendre les sentiments de certains de vos lecteurs mathématiques”

 

frase que demuestra su desconocimiento en la simplificación de fracciones al nivel de Haros. No sabemos quién toma la decisión, pero la historia le reconoce a Farey como autor y se la denomina actualmente como sucesión de Farey.

 

La sucesión “Haros-Chuquet-Farey” es una sucesión de fracciones irreducibles, entre 0 y 1, que tienen un denominador menor o igual a n en orden creciente. La construcción se realiza de la siguiente forma:

Por ejemplo, tomamos n = 5:

  1. Comenzamos la sucesión por 0 y la finalizamos 1. {0,1}
  2. Añadimos las fracciones con denominador 5 (n). 1/5, 2/5, 3/5, 4/5. {0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1}
  3. Incluimos las fracciones con denominador n-1 1/4, (2/4 = 1/2), 3/4. {0, 1/5, 1/4, 2/5, 1/2, 3/5, 3/4, 4/5, 1}
  4. Incluimos las fracciones con denominador n-2 1/3, 2/3 {0, 1/5, 1/4,1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1}
  5. Incluimos las fracciones con denominador n-3 1/2 (ya incluida) {0, 1/5, 1/4,1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1}
  6. Para cualquier otro n seguiríamos con el mismo proceso que los anteriores.

Si n fuese grande deberíamos optar por otra solución :

  • Se construyen fracciones con las combinaciones con repetición de los números de 1 a n: [ 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … 2/1, 2/2, 2/3, …]
  • Se eliminan las fracciones ? 1 : [ 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … 2/1, 2/2, 2/3, …] = [ 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, …]
  • Se ordenan los términos agregando el 0 como primer término y el 1 como final: [ 0, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, …, 1]

Otros ejemplos:

F9 = [0, 1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 2/9, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 4/9, 1/2, 5/9, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 7/9, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 8/9, 1]

F11 =[0, 1/11, 1/10, 1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 2/11, 1/5, 2/9, 1/4, 3/11, 2/7, 3/10, 1/3, 4/11, 3/8, 2/5, 3/7, 4/9, 5/11, 1/2, 6/11, 5/9, 4/7, 3/5, 5/8, 7/11, 2/3, 7/10, 5/7, 8/11, 3/4, 7/9, 4/5, 9/11, 5/6, 6/7, 7/8, 8/9, 9/10, 10/11, 1]

 

El número de términos de la secuencia crece de forma importante:

 

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
nº términos 2 3 5 7 11 13 19 23 29 33 43 47 59 65 73 81 97 103 121 129

 

n 2.000 2.001 2.002 2.003 2.004 2.005 2.006 2.007 2.008 2.009
nº términos 1.216.589 1.217.821 1.218.541 1.220.543 1.221.207 1.222.807 1.223.735 1.225.067 1.226.067 1.227.747

 

 

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