En cualquier base

 

Capicúa

Son números enteros que se leen de igual forma desde la izquierda a la derecha o viceversa.

 

Una forma manual de obtenerlos es:

  1. Invertimos un número.
  2. El obtenido lo sumamos al original.
  3. Debemos obtener un capicúa, en caso contrario invertimos y (2).

Un ejemplo:

  1. Tomamos el 73 e invertimos
  2. Obtenemos el 37 y lo sumamos, obtenemos el 110
  3. No es capicúa.
    1. Tomamos el 110 e invertimos
    2. Obtenemos el 011 y lo sumamos, obtenemos el 121
    3. Ya tenemos el capicúa.
Dudeney
Es un número natural que es un cubo perfecto, de forma que la suma de sus dígitos da como resultado la raíz cúbica del número. El nombre deriva de Henry Dudeney que observó la existencia de estos números en uno de sus rompecabezas, Root Extraction, donde un profesor jubilado Colney Hatch postula ésto como método general para la extracción de la raíz.

Hay muy pocos números:

1 = 1 x 1 x 1 ; 1 = 1 512 = 8 x 8 x 8 ; 8 = 5 + 1 + 2 4913 = 17 x 17 x 17 ; 17 = 4 + 9 + 1 + 3 5832 = 18 x 18 x 18 ; 18 = 5 + 8 + 3 + 2 17576 = 26 x 26 x 26 ; 26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6 19683 = 27 x 27 x 27 ; 27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3

Felices/Infelices y Felices emparentados

Son naturales que siguen el siguiente proceso y que deben terminar en 1:

 

  1. Se obtiene la suma de los cuadrados de los dígitos que lo componen
  2. Al número obtenido se le aplica el paso anterior

El proceso finaliza cuando llegamos al número 1 u obtenemos uno que ya se haya identificado como feliz, en estos dos casos tenemos un nº Feliz. En el supuesto de entrar en un proceso infinito lo que obtenemos es un nº infeliz.

 

Un ejemplo:

 

Feliz Infeliz

7 -> 72 = 49

49 -> 42 + 92 = 97

97 -> 92 + 72 = 130

130 -> 12 + 32 + 02 = 10

10 -> 12 + 02 = 1

4 -> 42 = 16

16 -> 12 + 62 = 37

37 -> 32 + 72 = 58

58 -> 52 + 82 = 89

89 -> 82 +92 = 145

145 -> 12 +42 + 52 = 42

42 -> 42 +22 = 20

20 -> 22 +02 = 4 proceso infinito

Felices emparentados.

Todo número feliz tiene un conjunto de números formados por los cuadrados de los dígitos que lo componen. En el ejemplo del 7 su conjunto es [49, 97, 130, 10, 1], otros felices pueden tener el mismo conjunto, a esta afinidad la llamamos parentesco. En la tabla siguiente representamos la cantidad de parientes sobre 20 millones de nºs felices, en esta población sólo existen 80 conjuntos de familias felices, las ramas de mayor distribución son:

 

[97, 130, 10, 1]

[82, 68, 100, 1]

 

las más pobladas:

 

[208, 68, 100, 1]

[192, 86, 100, 1]

 

y todas tienen los mismos ancestros

 

[10, 1]

[100, 1]

 

 

Cantidad de Parientes Conjunto Felices Cantidad de Parientes Conjunto Felices
9 [1] 147.453 [365,70,49,97,130,10,1]
56 [563,70,49,97,130,10,1] 165.423 [356,70,49,97,130,10,1]
56 [566,97,130,10,1] 176.779 [94,97,130,10,1]
91 [536,70,49,97,130,10,1] 178.816 [91,82,68,100,1]
280 [565,86,100,1] 200.082 [338,82,68,100,1]
484 [7,49,97,130,10,1] 206.712 [97,130,10,1]
876 [10,1] 219.077 [331,19,82,68,100,1]
1.540 [13,10,1] 244.627 [100,1]
1.897 [496,133,19,82,68,100,1] 245.010 [103,10,1]
2.975 [490,97,130,10,1] 257.986 [326,49,97,130,10,1]
3.605 [487,129,86,100,1] 275.828 [109,82,68,100,1]
4.256 [19,82,68,100,1] 286.608 [329,94,97,130,10,1]
5.187 [478,129,86,100,1] 287.515 [319,91,82,68,100,1]
6.105 [469,133,19,82,68,100,1] 325.681 [310,10,1]
6.797 [23,13,10,1] 340.061 [320,13,10,1]
7.771 [464,68,100,1] 360.007 [313,19,82,68,100,1]
10.944 [28,68,100,1] 369.064 [130,10,1]
13.697 [31,10,1] 372.054 [302,13,10,1]
15.015 [446,68,100,1] 405.339 [291,86,100,1]
15.480 [32,13,10,1] 408.987 [129,86,100,1]
20.767 [440,32,13,10,1] 425.001 [133,19,82,68,100,1]
32.969 [44,32,13,10,1] 425.843 [301,10,1]
37.900 [49,97,130,10,1] 457.664 [139,91,82,68,100,1]
47.379 [409,97,130,10,1] 473.883 [293,94,97,130,10,1]
48.190 [404,32,13,10,1] 545.346 [262,44,32,13,10,1]
66.219 [391,91,82,68,100,1] 563.692 [280,68,100,1]
68.466 [386,109,82,68,100,1] 580.587 [263,49,97,130,10,1]
71.798 [397,139,91,82,68,100,1] 629.084 [167,86,100,1]
74.064 [392,94,97,130,10,1] 640.757 [226,44,32,13,10,1]
78.622 [379,139,91,82,68,100,1] 648.013 [190,82,68,100,1]
82.182 [383,82,68,100,1] 659.002 [230,13,10,1]
85.724 [70,49,97,130,10,1] 679.087 [239,94,97,130,10,1]
94.151 [68,100,1] 701.309 [219,86,100,1]
108.773 [376,94,97,130,10,1] 705.660 [203,13,10,1]
116.421 [367,94,97,130,10,1] 725.959 [193,91,82,68,100,1]
123.809 [82,68,100,1] 740.954 [176,86,100,1]
127.961 [79,130,10,1] 760.397 [236,49,97,130,10,1]
130.710 [362,49,97,130,10,1] 768.550 [188,129,86,100,1]
133.087 [368,109,82,68,100,1] 798.373 [192,86,100,1]
143.073 [86,100,1] 808.344 [208,68,100,1]

 

Infelices emparentados.

Sobre 122.940.786 nºs infelices obtenemos 501 familias con la siguiente cantidad de parientes.

Cantidad de Parientes Conjunto Infelices
830.860 [216,41,17,50,25,29,85,89,145,42,20,4,16,37,58]
823.558 [200,4,16,37,58,89,145,42,20]
816.456 [224,24,20,4,16,37,58,89,145,42]
808.539 [204,20,4,16,37,58,89,145,42]
805.057 [212,9,81,65,61,37,58,89,145,42,20,4,16]
795.216 [220,8,64,52,29,85,89,145,42,20,4,16,37,58]
786.500 [196,118,66,72,53,34,25,29,85,89,145,42,20,4,16,37,58]
786.375 [232,17,50,25,29,85,89,145,42,20,4,16,37,58]
782.756 [228,72,53,34,25,29,85,89,145,42,20,4,16,37,58]
775.415 [240,20,4,16,37,58,89,145,42]

 

 

 

Ícono feliz
Friedman

Erich Friedman es un profesor de matemáticas que desarrolla puzles y estos números en el año 2.000. Un número Friedman es un natural que es igual al resultado de una o varias operaciones (+, -, ×, ÷, ^) con sus dígitos y en cualquier base.

Mike Reid, Ulrich Schimke y Philippe Fondanaiche confirmaron que sólo existen 72 números de este tipo entre los primeros 10.000 naturales.La vedad es que son raros pero aún nadie ha indicado si hay infinitud o no de ellos.

 

Por ejemplo, en base 10:

 

25 = 52

121 = 112

126 = 6 × 21

127 = – 1 + 27

1.285 = 5 x (28+1)

824.567 = 45+( (8+6 )/2 )7

 

Erich Friedman
Erich Friedman
Munchausen. (Baron von Munchausen)

Encontramos una referencia en un libro titulado “…..Neurological and Psychiatric Disorders…” “…Desordenes Siquiátricos y Neurológicos …” que refiere a Daan Van Berkel como autor/denominador de este tipo de números en 2.009.

Un número de Munchausen es un número natural n en una base b tal que n es igual a la suma sus dígitos cada uno elevado a la potencia de sí mismo. En base 10 sólo encontramos el 1 y el 3.435, en base 9 el 1, 28, 96.446 y 923.362.

 

Daan Van Berkel
Daan Van Berkel
Narcisistas (Armstrong)

Un número Narcisista o de Armstrong es número que es igual a la suma de las potencias x de sus dígitos. X es la cantidad de dígitos que componen el numero. El mayor número conocido de este tipo es el:

 

115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401

 

y según la fórmula

 

no existen más números de este tipo.

Generador de Narcisistas
Generador de Narcisistas
Permutables

Son números primos que generan otro primo con la permutación sin repetición de sus dígitos. Los define Hans-Egon Richert en una publicación de 1.951. Los primeros permutables en base 10 son:

.

[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991].

 

los siguientes que hemos visto sólo contienen “1”, muchos “1”.

Hans-Egon Richert
HansRichert
Números Primos de Números (NPN) y NPN Primitivos

NPN, son el conjunto de todos los números primos que se pueden obtener de las permutaciones de alguno o todos los dígitos de un número natural n.

 

Un Primitivo NPN, definido por Mike Keith, es un número natural n para el cual la cantidad de números primos que se pueden obtener es mayor que el número de primos obtenidos de la misma manera para cualquier menor a n. Los primeros son :

.

1,2,13,37,107,113,137,1013,1037,1079,1237,1367,1379,10079

 

 

Por ejemplo, para el 123.479 los primos que genera son (402):

 

[ 2, 3, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 71, 73, 79, 97, 127, 137, 139, 149, 173, 179, 193, 197, 239, 241, 271, 293, 317, 347, 349, 379, 397, 419, 421, 431, 439, 479, 491, 719, 739, 743, 937, 941, 947, 971, 1237, 1249, 1279, 1297, 1327, 1423, 1427, 1429, 1439, 1493, 1723, 1973, 2137, 2143, 2179, 2341, 2347, 2371, 2417, 2437, 2473, 2713, 2719, 2731, 2741, 2749, 2791, 2917, 2971, 3217, 3271, 3491, 3719, 3917, 3947, 4127, 4129, 4139, 4217, 4219, 4231, 4271, 4273, 4297, 4327, 4391, 4397, 4721, 4723, 4729, 4793, 4931, 4937, 4973, 7129, 7193, 7213, 7219, 7243, 7321, 7349, 9127, 9137, 9173, 9241, 9341, 9371, 9413, 9421, 9431, 9437, 9473, 9721, 9743, 12347, 12379, 12437, 12473, 12479, 12497, 12739, 12743, 12973, 13249, 13297, 13729, 14293, 14327, 14723, 14923, 17239, 17293, 17923, 19237, 19273, 19423, 19427, 21347, 21379, 21397, 21493, 21739, 21937, 21943, 23197, 23417, 23497, 23719, 23741, 23917, 23971, 24137, 24179, 24197, 24317, 24371, 24379, 24391, 24793, 24917, 24971, 27143, 27431, 27941, 27943, 29137, 29147, 29173, 29347, 29437, 29473, 29741, 31247, 31249, 31729, 32479, 32491, 32497, 32719, 32749, 32917, 32941, 32971, 34127, 34129, 34217, 34297, 34721, 34729, 39217, 39241, 41729, 41927, 42139, 42179, 42193, 42197, 42379, 42391, 42397, 42719, 42793, 42937, 43271, 43291, 43721, 47123, 47129, 47293, 49123, 71249, 71293, 71329, 71429, 72139, 72341, 72431, 72493, 72931, 73291, 73421, 74219, 74231, 74293, 74923, 79231, 79241, 79423, 91237, 91243, 91423, 92143, 92173, 92317, 92347, 92413, 92431, 93241, 93427, 94273, 94321, 94327, 94723, 97213, 97231, 97241, 97423, 123479, 124739, 124793, 127493, 129347, 132749, 132947, 142973, 143729, 147293, 172439, 173249, 173429, 174329, 179243, 192347, 192743, 193247, 194723, 197243, 197423, 213947, 217439, 219437, 231479, 231947, 234197, 234791, 234917, 239147, 239417, 241739, 241793, 241973, 243197, 243917, 247193, 247391, 247913, 249317, 273149, 273941, 274139, 274931, 279143, 279413, 279431, 291437, 291743, 293147, 294317, 294731, 314927, 319427, 321947, 324179, 324791, 327419, 327491, 327941, 329471, 341729, 341927, 342179, 342197, 342791, 342971, 347129, 371249, 372149, 372941, 374219, 374291, 391247, 392741, 394271, 394721, 412397, 412739, 412793, 417239, 417293, 421397, 421739, 421973, 423179, 423791, 427913, 429137, 429731, 431297, 431729, 437219, 439217, 471923, 472139, 472193, 472319, 472391, 473219, 479231, 491273, 491327, 492731, 493127, 493217, 493721, 712493, 721439, 723491, 729143, 729413, 731249, 732491, 734291, 739241, 742193, 742913, 743129, 743921, 792413, 794231, 913247, 914237, 914327, 914723, 917243, 921743, 923147, 923471, 924173, 924713, 924731, 927431, 932417, 932471, 934127, 934721, 937241, 937421, 941723, 942317, 942371, 943127, 972431, 973421, 974123, 974213 ]

Primos Reversibles

Son números primos que al invertir sus dígitos originan otro número primo diferente, no hay que confundirlos con los capicúas. En el mundo anglosajón se les conoce como Emirp. Los primeros reversibles son:

 

13,17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389

 

En la actualidad (2.014) el mayor conocido es el 1010006+941992101×104999+1, encontrado por Jens Kruse Andersen en el 2.007.

Smarandache-Wellin

Son los números formados con la concatenación consecutiva de los números primos empezando por el 2, fueron definidos por Florentin Smarandache y Paul R. Wellin . Por ejemplo:

 

♦ Descargar ♦

 

Secuencia Primos

 

2
23
235
2357
235711
23571113
2357111317
235711131719
23571113171923
2357111317192329
235711131719232931
23571113171923293137
2357111317192329313741
235711131719232931374143
23571113171923293137414347
2357111317192329313741434753
235711131719232931374143475359

2
23
2357

 

2357111317192329313741434753596167717379838997

1011031071091131271311371391491511571631671731

7918119119319719921122322722923323924125125726

3269271277281283293307311313317331337347349353

3593673733793833893974014094194214314334394434

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