Irracionales

Son los números reales que no son números racionales, pero que se aproximan a ellos. Poseen infinitas cifras decimales, no periódicas y no pueden expresarse como fracciones. Se les simboliza como R – Q y en algunas ocasiones como R / Q.

 

Pueden subdividirse en dos tipos:

 

Joseph Liouville
Joseph Liouville

1 – Transcendentes. No son solución de ninguna ecuación polinómica, todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Son infinitos no numerables, es decir, tiene infinitos elementos pero no existe orden alguno que pueda ser establecido. La denominación de transcendentes fue dada por Leibniz en 1.682.

Demostrar que un número es trascendente es arduo, la primera demostración de un número transcendental fue la realizada por Joseph Liouville en 1.844-1.851, exponiendo que:

 

Más tarde, en 1.874, Georg Cantor publica “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” proponiendo un nuevo método para la obtención de números transcendentales. En 1.885 Karl Theodor Wilhelm Weierstraß demuestra la forma general de establecer la trascendencia de un número con los trabajos de Lindemann, llamándose teorema de Lindemann–Weierstraß.

 Georg Cantor
Georg Cantor

 

En 1.934 Alexander Gelfond y despues, en 1.935, Theodor Schneider, plantean un nuevo método llamado teorema de Gelfond-Schneider, pero la evolución no termina aquí, existen métodos actuales que desarrollaremos más adelante.

Los ejemplos más representativos de números trascendentes son:

  • Número áureo ?, ?. El primer cálculo como número decimal lo realiza Michael Maestlin en 1.597.
  • Número e, e². Euler demuestra que es irracional en 1.737, Charles Hermite Circa demostró que e era transcendente en 1.873.
  • Número ?. Johann Heinrich Lambertt demuestra que es irracional en 1.760. En 1.775 Euler opina que el número ? debe ser trascendente. Carl L. Ferdinand von Lindemann demostró que era transcendente en 1.882.
  • Otros están representados por constantes:
Carl Ferdinand Charles Hermite
Carl Ferdinand Charles Hermite

Feigenbaum

Chaitin

Komornik-Loreti

• …

 

 

 

2 – Algebráicos. Son cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros, tienen la forma:

 

Estas ecuaciones tienen n soluciones. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos. Todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a / b es solución de bx ? a = 0.

 

 

Para resolver prácticamente cualquier problema sobre los números enteros hay que salir del entorno de Z , ó de Q y para ello se necesita el álgebra de números.

 

Las bases de la teoría algebraica de números fueron sentadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Ernst Eduard Kummer, y completadas por Leopold Kronecker, Egor Ivanovich Zolotarev y Richard Dedekind.

 

La teoría algebraica de números no es fácil de describir, haciendo un recorrido muy, muy rápido, deberíamos de hablar de:

 

  • Ternas pitagóricas,
  • Ecuaciones Diofánticas,
  • La teoría de Gauss, Kummer
  • El último Teorema de Fermat,
  • El teorema de Hasse Minkowski
  • … Lo iremos incluyendo más adelante.

 

Ubicación Nº transcendentes y Algebráicos
Ubicación Nº transcendentes y Algebráicos