Cantidad

¿Cuántos números primos hay?. Infinitos, distintas fórmulas así lo indican, pero la cantidad de ellos tiende a disminuir en la medida en la que aumentamos su búsqueda, además se distribuyen inicialmente de manera arrítmica y posteriormente algo más regular, lo que aún no sabemos es dónde van a aparecer.

Hemos generado números primos (10.000.000.000), datos que originan la tabla adjunta y gráfico dónde podemos ver como disminuye la ratio según vamos creciendo en número de términos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La demostración sobre la infinitud de los números primos más conocida y primera es la de Euclides, pero existen otras muchas más:

La reformulación de Kummer respecto de la de Euclides, las demostración de Auric, Erdös, Euler, Fibonacci, Furstenberg, Goldbach, Harris , Hermite, Lagrange, Métrod, Mixon, Odoni, Perott, Pinasco, Pollack, Saidak, Schorn, Stieltjes, Axel Thue, Vinogradov, Whang, …

 

 

Mostramos a continuación alguna de las demostraciones más breves:

 

  • Euclides, “Libro IX de Los Elementos como proposición 20” y por reducción al absurdo.

Supongamos que el conjunto de números primos es finito, es decir, existen ciertos primos que son únicos. Se forma el producto de: . El resultado P es mayor que cualquiera de los números primos, es evidente. Además, al dividir P entre cualquiera de los primos que lo componen, el resultado es siempre 1, es decir P no es divisible por ninguno de los primos utilizados, por tanto P es un número primo, o es divisible por algún número primo Q distinto a los p anteriores y como, es mayor, y no está en la lista de los finitos hemos llegado a una contradicción que demuestra el teorema.

 

  • Charles Hermite, variante de la demostración de Euclides.

Sea n = 1, 2, 3, 4, 5,… los números naturales y el factor primo más pequeño de n! + 1 para cada valor de n. Como tiene que ser necesariamente mayor que n, se deduce que esta sucesión contiene infinitos elementos distintos y que por tanto, existen infinitos números primos.

 

  • Robert Odoni (1.985).

Se considera la sucesión recurrente con . Se observa que si i ? J entonces ya que cualquier factor primo común a debe dividir a 1. Sea ahora el menor número primo que aparece en la descomposición en factores primos de , entonces la sucesión es una sucesión infinita de primos distintos.

 

  • Filip Saidak (2.006), similar al argumento de Goldbach.

Sea n un número natural arbitrario. Sabemos que puesto que n y n+1 son números naturales consecutivos, deben ser primos entre sí. Entonces el número N2 = n(n +1) debe tener, como mínimo, dos factores primos distintos. Análogamente, los números naturales n(n +1) y n(n +1) +1, son consecutivos y, por tanto, primos entre sí. En consecuencia, el número N3 = n(n +1) ? [n(n +1) +1] debe tener, como mínimo, tres factores primos diferentes. Este proceso puede ser continuado indefinidamente, así que el conjunto de los números primos es infinito.