Carmichael – Korselt

En 1.899 Alwin Reinhold Korselt propone el siguiente teorema:

 

Un número natural compuesto n es un número de «Carmichael-Korselt» si y sólo si n está libre de *cuadrados y para cada divisor primo p de n, el número p – 1 divide n – 1

Robert Daniel Carmichael
Robert Daniel Carmichael

La otra otra forma de decirlo es:

 

Un número natural compuesto, n, es un número de «Carmichael-Korselt» si a≡ a (mód n) para cualquier natural a.

 

Los números de «Carmichael-Korselt» son números compuestos que tienen por lo menos tres factores primos impares, están libres de *cuadrados y satisfacen el pequeño teorema de Fermat.

 

En 1.910 Robert Daniel Carmichael comprueba la existencia de estos números calculando 15 de ellos y se les da su nombre, también conjetura que habría infinitos, este aspecto lo demuestran W.R. Alford, A. Granville y C. Pomerance en 1.992.

 

En 1.939 Jack Chernick demuestra que si:

m > 1 y (6m+1), (12m+1) y (18m+1) son primos, entonces su producto (6m+1) x (12m+1) x (18m+1) es un número de «Carmichael-Korselt».

 

En 1.958 Paul Erdös muestra cómo construir números de Carmichael con muchos factores primos, por contra, Daniel Shanks indica que los números de Carmichael tienen menos factores que los predichos por Erdös. La controversia hace que estos números se dividan en dos clases, primitiva (Erdös) e imprimitiva (Shanks).

 

 

Números de Carmichael Los más grandes conocidos (2009)
Los primeros Factores primos Dígitos Autor
561 = [3 x 11 x 17]
1.105 = [5 x 29 x 73]
1.729 = [5 x 17 x 29]
2.465 = [5 x 13 x 17]
2.821 = [7 x 19 x 67]
6.601 = [7 x 31 x 73]
8.911 = [7 x 13 x 31]
10.585 = [7 x 23 x 41]
15.841 = [7 x 73 x 103]
29.341 = [7 x 13 x 19]
41.041 = [13 x 61 x 397]
46.657 = [13 x 37 x 241]
3
3
4
5
6
60.351
30.052
29.094
1.015
19.140
David Broadhurst
Phil Carmody
David Broadhurst
Caldwell – Dubner
David Broadhurst

 

*Se dice que un número no es cuadrado si su descomposición en primos no contiene factores repetidos.

 

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