Congruencia

El concepto de congruencia se le atribuye a Carl Gauss al proponer el símbolo para identificarlas en su “Disquisitiones Arithmeticae” de 1.801. Es una relación de equivalencia que permite clasificar a los números enteros en familias (conjuntos formados por cada número entero y todos sus congruentes), estas familias se denominan clases residuales módulo m.

 

Carl Gauss
Carl Gauss

Definición:

Tenemos dos enteros a y b, y otro entero positivo m.

a y b son congruentes módulo m, si el resto de a / m es igual al resto de b / m.  Es decir a mod m = b mod m

La notación es a ≡ b (mód m), también encontramos a ≡ b (m)

 

Propiedades:

  • Reflexiva: a b (mód m), para todo a  Z.
  • Simétrica: a b (mód m)  b a (mód m).
  • Transitiva: a b (mód m) y b c (mód m) a c (mód m).

Ejemplos:

  • 18 ≡ 3 (mód 5)
  • 66 ≡ 1 (mód 5)
  • 1492 ≡ 78 ( mód 101)
  • 3125 ≡ 1 (mod 11)

Una relación importante de la congruencia y la aritmética modular es con el Pequeño Teorema de Fermat y el Teorema Chino del Resto.