Conjetura. Es una teoría, hipótesis, suposición, reflexión que se presupone cierta porque no se ha encontrado ningún contraejemplo, pero que no ha sido demostrada. Matemáticamente una vez que se demuestra pasa a ser un teorema.
Existen conjeturas que se creían verdaderas, otras se resolvieron y algunas están pendientes, ejemplos:
- Conjetura de Kepler, 1.611, casi resuelta. Johannes Kepler plantea que: Sí apilamos esferas iguales, ¿Cuál es la manera más eficiente de empaquetarlas?, en el sentido de que ocupen el mínimo espacio. Él indicaba que la densidad máxima se alcanza con un apilamiento piramidal de caras centradas. En 1.998 Thomas Hales anuncia la demostración a través de computación, pero el método utilizado no es exhaustivo, por lo que algunos matemáticos indican que no está resuelta al 100%.
- Conjetura de Goldbach 1.742 resuelta parcialmente. Christian Goldbach se la plantea a Leonhard Euler diciendo: Todo número puede ser descompuesto en una suma de un número arbitrario de primos. La conjetura ha sido dividida en dos en función de si el número es par, conjetura Fuerte o binaria y para números impares Débil o ternaria que ya ha sido resuelta en 2.013.
- Conjetura de Pólya, 1.919, resuelta. George Pólya plantea que: Para cualquier número natural, n > 1, si dividimos los números naturales menores o iguales a n (salvo el 0), por los que tienen un número impar de factores primos e igualmente los dividimos por aquellos que tienen un número par de factores primos, entonces el primer conjunto tiene más o igual cantidad de elementos que el último. En 1.958 Colin Brian Haselgrove demostró que la conjetura tiene un contraejemplo para
y en 1.960 Russell Sherman Lehman publicó otro para n = 906.180.359.
- Conjetura de Collatz, 1.937, pendiente. Lothar Collatz plantea: Parar cualquier número natural n, sí n es par, se divide entre 2, si n es impar se multiplica por 3 y se suma 1, con el resultado se repiten las operaciones anteriores indefinidamente, este proceso siempre acabará en 1. La conjetura será falsa cuando exista un número inicial el cual no finalice en 1. La conjetura también se conoce entre otros como: conjetura 3n + 1, de Ulam, el problema de Kakutani, secuencia de Hailstone o algoritmo de Hasse.
Existen otras muchas como las de Potincaré (1.904) que se demostró en 2.003, o la del último teorema de Fermat (1.637) que fue demostrado en 1.993. También quedan pendientes otras incluidas en los 23 problemas no resueltos que propuso Hilbert a principios del siglo XX o, de los 7 problemas del milenio y que sólo el de Potincaré ha sido resuelto.
Teorema. El diccionario de la lengua española dice: Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas, postulados o de otras proposiciones ya demostradas. El teorema se compone de un número de condiciones denominadas respuestas, después viene la conclusión o afirmación matemática que es verdadera en las condiciones del entorno dónde se produce y finalmente establecerá la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión del trabajo.
Sólo para los números primos tenemos registradas más de 200 conjeturas, una pequeña aproximación de la profundidad de este tema.