La distribución de los números primos es sencillamente aleatoria. Sólo se han encontrado algunas relaciones, probabilidades o conclusiones no determinantes. El avance más importante en la obtención de la distribución es el teorema del número primo.
En 1.896 Jacques Hadamard y Jean de la Vallée Poussin, de forma individual, concluyeron que, a medida que crece el valor de un nº primo la distancia que le separa del siguiente aumenta, salvo para los primos gemelos.
Visualicemos la distribución de los números primos:
- En 1.930 Laurence Monroe Klauber propone una forma sencilla de visualizar los números primos construyendo un triángulo de números naturales y luego marcando los primos. En algunas columnas podemos ver como se van acumulando los primos.
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- En 1.963 Stanislaw Ulam utilza una representación similar a la idea de Klauber, en este caso la representación la realiza a través de una espiral cuadrada de números naturales en la cual también marca los primos. Abajo una herramienta que genera la espiral de distintas formas.
Otra forma de ver la espiral:
- En 1.994 Robert Sacks propone otra forma similar a la de Ulam, su idea es colocar todos los números naturales, comenzando desde el cero, sobre una espiral de Arquímedes (cada giro está a una distancia constante del anterior) y marcar los primos.
Un detalle de ultima hora (2.016), Robert Lemke Oliver y Kannan Soundararajan han publicado un estudio sobre la aleatoriedad de los primeros mil millones de números primos y han descubierto que:
- La probabilidad de que un número primo terminado en 9 sea seguido por otro primo acabado en 1 es de un 65% mayor que la de otro terminado en 9.
- Los 9 aparecen consecutivos un 22% de las veces.
- Los terminados en 3 o los terminados en 7 aparecen consecutivos un 30% de las veces.
Suponen que existe alguna relación con la conjetura de las k-tuplas de números primos de Godfrey Hardy y John Littlewood publicada en 1.922-3.