En cualquier base

Son números enteros que se leen de igual forma desde la izquierda a la derecha o viceversa.

Una forma manual de obtenerlos es:

1. Invertimos un número.
2. El obtenido lo sumamos al original.
3. Debemos obtener un capicúa, en caso contrario invertimos y (2).

Un ejemplo:

1. Tomamos el 73 e invertimos
2. Obtenemos el 37 y lo sumamos, obtenemos el 110
3. No es capicúa.
   1. Tomamos el 110 e invertimos
   2. Obtenemos el 011 y lo sumamos, obtenemos el 121
   3. Ya tenemos el capicúa.

Son naturales que siguen el siguiente proceso y que deben terminar en 1:

1. Se obtiene la suma de los cuadrados de los dígitos que lo componen
2. Al número obtenido se le aplica el paso anterior

El proceso finaliza cuando llegamos al número 1 u obtenemos uno que ya se haya identificado como feliz, en estos dos casos tenemos un nº Feliz. En el supuesto de entrar en un proceso infinito lo que obtenemos es un nº infeliz.

Un ejemplo:

Felices emparentados.

Todo número feliz tiene un conjunto de números formados por los cuadrados de los dígitos que lo componen. En el ejemplo del 7 su conjunto es [49, 97, 130, 10, 1], otros felices pueden tener el mismo conjunto, a esta afinidad la llamamos parentesco. En la tabla siguiente representamos la cantidad de parientes sobre 20 millones de nºs felices, en esta población sólo existen 80 conjuntos de familias felices, las ramas de mayor distribución son:

[97, 130, 10, 1]

[82, 68, 100, 1]

las más pobladas:

[208, 68, 100, 1]

[192, 86, 100, 1]

y todas tienen los mismos ancestros

[10, 1]

[100, 1]

Infelices emparentados.

Sobre 122.940.786 nºs infelices obtenemos 501 familias con la siguiente cantidad de parientes.

Erich Friedman es un profesor de matemáticas que desarrolla puzles y estos números en el año 2.000. Un número Friedman es un natural que es igual al resultado de una o varias operaciones (+, -, ×, ÷, ^) con sus dígitos y en cualquier base.

Mike Reid, Ulrich Schimke y Philippe Fondanaiche confirmaron que sólo existen 72 números de este tipo entre los primeros 10.000 naturales.La vedad es que son raros pero aún nadie ha indicado si hay infinitud o no de ellos.

Por ejemplo, en base 10:

25 = 5²

121 = 11²

126 = 6 × 21

127 = – 1 + 2⁷

1.285 = 5 x (2⁸+1)

824.567 = 4⁵+( (8+6 )/2 )⁷

Encontramos una referencia en un libro titulado “…..Neurological and Psychiatric Disorders…” “…Desordenes Siquiátricos y Neurológicos …” que refiere a Daan Van Berkel como autor/denominador de este tipo de números en 2.009.

Un número de Munchausen es un número natural n en una base b tal que n es igual a la suma sus dígitos cada uno elevado a la potencia de sí mismo. En base 10 sólo encontramos el 1 y el 3.435, en base 9 el 1, 28, 96.446 y 923.362.

Un número Narcisista o de Armstrong es número que es igual a la suma de las potencias x de sus dígitos. X es la cantidad de dígitos que componen el numero. El mayor número conocido de este tipo es el:

115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401

y según la fórmula

no existen más números de este tipo.

Son números primos que generan otro primo con la permutación sin repetición de sus dígitos. Los define Hans-Egon Richert en una publicación de 1.951. Los primeros permutables en base 10 son:

.

[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991].

los siguientes que hemos visto sólo contienen “1”, muchos “1”.

NPN, son el conjunto de todos los números primos que se pueden obtener de las permutaciones de alguno o todos los dígitos de un número natural n.

Un Primitivo NPN, definido por Mike Keith, es un número natural n para el cual la cantidad de números primos que se pueden obtener es mayor que el número de primos obtenidos de la misma manera para cualquier menor a n. Los primeros son :

.

1,2,13,37,107,113,137,1013,1037,1079,1237,1367,1379,10079

Por ejemplo, para el 123.479 los primos que genera son (402):

[ 2, 3, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 71, 73, 79, 97, 127, 137, 139, 149, 173,

179, 193, 197, 239, 241, 271, 293, 317, 347, 349, 379, 397, 419, 421, 431, 439, 479,

491, 719, 739, 743, 937, 941, 947, 971, 1237, 1249, 1279, 1297, 1327, 1423, 1427,

1429, 1439, 1493, 1723, 1973, 2137, 2143, 2179, 2341, 2347, 2371, 2417, 2437,

2473, 2713, 2719, 2731, 2741, 2749, 2791, 2917, 2971, 3217, 3271, 3491, 3719,

3917, 3947, 4127, 4129, 4139, 4217, 4219, 4231, 4271, 4273, 4297, 4327, 4391,

4397, 4721, 4723, 4729, 4793, 4931, 4937, 4973, 7129, 7193, 7213, 7219, 7243,

7321, 7349, 9127, 9137, 9173, 9241, 9341, 9371, 9413, 9421, 9431, 9437, 9473,

9721, 9743, 12347, 12379, 12437, 12473, 12479, 12497, 12739, 12743, 12973,

13249, 13297, 13729, 14293, 14327, 14723, 14923, 17239, 17293, 17923, 19237,

19273, 19423, 19427, 21347, 21379, 21397, 21493, 21739, 21937, 21943, 23197,

23417, 23497, 23719, 23741, 23917, 23971, 24137, 24179, 24197, 24317, 24371,

24379, 24391, 24793, 24917, 24971, 27143, 27431, 27941, 27943, 29137, 29147,

29173, 29347, 29437, 29473, 29741, 31247, 31249, 31729, 32479, 32491, 32497,

32719, 32749, 32917, 32941, 32971, 34127, 34129, 34217, 34297, 34721, 34729,

39217, 39241, 41729, 41927, 42139, 42179, 42193, 42197, 42379, 42391, 42397,

42719, 42793, 42937, 43271, 43291, 43721, 47123, 47129, 47293, 49123, 71249,

71293, 71329, 71429, 72139, 72341, 72431, 72493, 72931, 73291, 73421, 74219,

74231, 74293, 74923, 79231, 79241, 79423, 91237, 91243, 91423, 92143, 92173,

92317, 92347, 92413, 92431, 93241, 93427, 94273, 94321, 94327, 94723, 97213,

97231, 97241, 97423, 123479, 124739, 124793, 127493, 129347, 132749, 132947,

142973, 143729, 147293, 172439, 173249, 173429, 174329, 179243, 192347, 192743, 193247, 194723, 197243, 197423, 213947, 217439, 219437, 231479, 231947, 234197, 234791, 234917, 239147, 239417, 241739, 241793, 241973, 243197, 243917, 247193, 247391, 247913, 249317, 273149, 273941, 274139, 274931, 279143, 279413, 279431, 291437, 291743, 293147, 294317, 294731, 314927, 319427, 321947, 324179, 324791, 327419, 327491, 327941, 329471, 341729, 341927, 342179, 342197, 342791, 342971, 347129, 371249, 372149, 372941, 374219, 374291, 391247, 392741, 394271, 394721, 412397, 412739, 412793, 417239, 417293, 421397, 421739, 421973, 423179, 423791, 427913, 429137, 429731, 431297, 431729, 437219, 439217, 471923, 472139, 472193, 472319, 472391, 473219, 479231, 491273, 491327, 492731, 493127, 493217, 493721, 712493, 721439, 723491, 729143, 729413, 731249, 732491, 734291, 739241, 742193, 742913, 743129, 743921, 792413, 794231, 913247, 914237, 914327, 914723, 917243, 921743, 923147, 923471, 924173, 924713, 924731, 927431, 932417, 932471, 934127, 934721, 937241, 937421, 941723, 942317, 942371, 943127, 972431, 973421, 974123, 974213 ]

Son números primos que al invertir sus dígitos originan otro número primo diferente, no hay que confundirlos con los capicúas. En el mundo anglosajón se les conoce como Emirp. Los primeros reversibles son:

13,17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389

En la actualidad (2.014) el mayor conocido es el 10¹⁰⁰⁰⁶+941992101×10⁴⁹⁹⁹+1, encontrado por Jens Kruse Andersen en el 2.007.

Son los números formados con la concatenación consecutiva de los números primos empezando por el 2, fueron definidos por Florentin Smarandache y Paul R. Wellin . Por ejemplo:

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