Los Hiperreales son una extensión de los números reales para tratar cantidades infinitas e infinitesimales, se designan como *R. También se les denomina reales no convencionales. Un número hiperreal se dice infinitesimal si es más pequeño que cualquier número real positivo y más grande que cualquier número real negativo. Cero es un infinitesimal, pero también existen infinitesimales distintos de cero.
Un ejemplo fácil: (10, 100, 1000, …, 10n, …) su inverso es el infinitesimal (1/10, 1/100, 1/1000, …, 10-n, …)
Las primeras aproximaciones a estos números se produce en la antigua Grecia con Eudoxo de Cnido, más tarde Aristóteles de Estagira dice: el infinito representaba el principio de todas las cosas y al carecer de principio o de final se le consideraba inmortal e indestructible. Por otro lado, otros matemáticos de la época, entre ellos, Arquímedes de Siracusa, consideraban, desde distintos tipos de vista, que una longitud a era infinitesimal comparada con b si multiplicándola por cualquier entero nunca se lograría superar a b.
Guillaume de L’Hôpital en el libro “Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes” de 1.696, describe los trabajos de Nicolás de Cusa, siglo XIII, sobre la supuesta demostración de la cuadratura del círculo que considera a la circunferencia como un polígono regular de infinitos lados. W. Leibniz define a la derivada como el cociente de dos infinitesimales, él se refería a números tan pequeños que dejaban de tener las mismas propiedades que los demás números, además también decía “lo que tiene éxito para lo finito también tienen éxito para los números infinitos y viceversa”.
Existieron opiniones contrarias al concepto de infinitesimales, George Berkeley en 1.707 rechaza la existencia de ellos basándose en las ideas de John Locke y en la disputa entre Bernard Nieuwentijt (tambien era contrario) contra W. Leibniz. Berkeley lo escribió en “Of Infinites” y en “The Analyst”. Recordamos que Berkeley es el de la universidad de Berkeley.
A partir de la influencia de Berkeley hubo un paron / olvido de los infinitos e infinitesimales hasta el siglo XIX cuando, Cauchy, Bolzano y Karl Weierstrass, entre otros, probaron que mediante un lenguaje matemático centrado en tratar con cantidades finitas y definidas, se podía aludir al infinito. Despues le siguieron Richard Dedekind, George Cantor, Gottlob Frege, …
El término “hiper-real” fue presentado por Edwin Hewitt en un artículo publicado en 1.946 en AMS (American Mathematical Society) llamado “Rings of real-valued continuous functions”, más tarde con el denominado “Análisis no convencional”, Abraham Robinson justifica la utilización de números infinitos e infinitesimales en dos trabajos de 1.961 y 1.966. En 1.969 – 70 Alain Connes bajo la dirección de Gustave Choquet publica una teoria alternativa a la de Robinson para tratar estos números.