Un número es normal, respecto de una base, si todos los dígitos aparecen con la misma probabilidad en su expansión en esa base. Se denominarían absolutamente normales si es normal respecto de cualquier base. Todo número normal debe ser necesariamente irracional, pero no todo número irracional es normal.
Las ideas sobre estos números aparecierón en la primera década del siglo XX con los esudios de Félix Édouard Justin Émile Borel y Wacław Franciszek Sierpiński. Fue Borel quién dió el nombre de normales en 1.909 en el artículo “Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques” y Sierpiński el primero que dió un ejemplo en 1.916
Sierpiński y AlanTuring idearon algoritmos que dan como resultado un número normal en toda base (absolutamente normales), pero existe un problema, su computabilidad es inviable.
Verónica Becher y Santiago Figueira trabajaron en las proposiciones de Sierpiński obteniendo como resultado un algoritmo recursivo que producía un número computable y absolutamente normal en 2.002. También tomaron los manuscritos de Turing tratando de crear un algoritmo con sus ideas, pero vieron que los resultados eran totalmente inviables (doblemente exponenciales), esto fue en 2.007, más tarde en 2.013, V. Becher, Pablo A. Heiber y T. Slaman desarrollan un algoritmo, en base al de Turing que devuelve un número absolutamente normal.
Algunas formas de obtener números normales:
- En base 10
- En binario
- La concatenación de los múltiplos de cualquier número natural es normal en base 10. Es decir: para cuando n ∈ ℕ, el número 0, ⌈n⌉ ⌈2n⌉ ⌈3n⌉… es normal en base 10.
Otros números normales:
- Constante de Copeland-Ërdos. Copeland y Ërdos demostraron, en 1.945, que este número es normal en todas las bases.
- Constante de Chaitin.