Un número perfecto es aquél que es igual a la suma de sus divisores (divisores propios), exceptuando él mismo.
El primer registro que se conoce está en los Elementos de Euclides (Siglo III ane), proposición 36 del Libro IX. El método para generar estos números es:
- Establecer en orden las potencias de dos en una línea, desde el 1 y hasta donde queramos: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , …
- Se deben sumar cada vez que se incorpore un término nuevo
- Si la suma es un nº primo, lo multiplicamos por la cantidad del último término, el producto será nº perfecto.
- Si la suma es un nº compuesto, se añade el siguiente término y se vuelve a examinar el resultado:
- Si es compuesto, pasamos de él y agregamos el siguiente término (2).
- Si es primo vamos a (3)
- Así sucesivamente hasta nuestro objetivo.
Pongamos unos ejemplos:
1 + 2 = 3, 3 × 2= 6
1 + 2 + 4 = 7 × 4 = 28
1 + 2 + 4 + 8 = 15 + 16 = 31 × 16 = 496
Con posterioridad, Nicómaco de Gerasa alrededor del año 100 escribe Introducción a la aritmética “Arithmetike eisagoge” y da una clasificación de números basada en tres clases y en base a la suma de sus partes alícuotas:
- Abundantes. La suma de sus divisores es mayor que el número
- Deficientes. La suma de sus divisores es menor que el número
- Perfectos. La suma de sus divisores es igual al número
Desde un punto de vista religioso, los nº perfectos se unieron a Dios desde muy temprano, en el siglo I “Philo Judaeus” Filón de Alejandría para los amigos, en el tercer capítulo de la “Creación del Mundo” avanza la perfección del nº 6, en el siglo IV-V “Aurelius Augustinus Hipponensis” San Agustín, también para los amigos, escribió en “La Ciudad de Dios”, libro 11, capítulo 30:
… Dios prefirió emplear seis días, porque la perfección del número 6 significa la perfección del Universo… no debemos despreciar la ciencia de los números, la cual, en muchos pasajes de la Sagrada Escritura, demuestra ser de servicio eminente al intérprete cuidadoso».
Los matemáticos árabes también los estudiaron:
- Thabit ibn Qurra escribió en el “Tratado sobre números amistosos” en el que examinó cuándo los números de la forma 2 n p , donde p es primo, pueden ser perfectos.
- Ibn al-Haytham demostró en el “Tratado de análisis y síntesis” que los números perfectos tenían que ser de la forma 2 k -1 (2 k – 1) donde 2 k – 1 es primo,
- Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus estudia y apostilla la clasificación de números de Nicomachus. Creó una tabla de diez números que decía que eran perfectos, los primeros siete son correctos pero los tres restantes no.
Pietro A. Cataldi , en “Utriusque Arithmetices” propuso que los exponentes p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 dan números perfectos 2 p -1 (2 p – 1), pero no es así, los ssiguientes son incorrectos 23, 29, 31, 37.
Esto es sólo el principio, la aceleración de obtención estos números se produce a partir del siglo XX, en la tabla adjunta los mayores y algunos de los históricos.
Fecha | Autor | Número | Digitos |
2.016 | Cooper, Woltman, Kurowski, Blosser y otros | 274207281 × (274207281-1) | 44.677.235 |
2.013 | Cooper, Woltman, Kurowski, y otros | 257885161 × (257885161-1) | 34.850.340 |
2.009 | Strindmo, Woltman, Kurowski, y otros | 242643801 × (242643801-1) | 42.643.801 |
2.008 | Smith, Woltman, Kurowski, y otros | 243112609 × (243112609-1) | 25.956.377 |
2.008 | Elvenich, Woltman, Kurowski, y otros | 237156667 × (237156667-1) | 22.370.543 |
2.006 | Cooper, Boone, Woltman, Kurowski, y otros | 232582656 × (232582657-1) | 19.616.714 |
2.005 | Nowak, Woltman, Kurowski y otros | 225964950 × (225964951-1) | 15.632.458 |
2.004 | Findley, Woltman, Kurowski y otros | 224036582 × (224036583-1) | 14.471.465 |
2.003 | Shafer, Woltman, Kurowski y otros | 220996010 × (220996011-1) | 12.640.858 |
2.001 | Cameron, Woltman, Kurowski y otros | 213466916 × (213466917-1) | 8.107.892 |
1.999 | Hajratwala, Woltman, Kurowski y otros | 26972592 × (26972593-1) | 4.197.919 |
1.998 | Clarkson, Woltman, Kurowski y otros | 23021376 × (23021377-1) | 1.819.050 |
1.997 | Spence, Woltman y otros | 22976220 × (22976221-1) | 1.791.864 |
1.996 | Armengaud, Woltman y otros | 21398268 × (21398269-1) | 841.842 |
1.996 | Slowinski y Gage | 21257786 × (21257787-1) | 757.263 |
1.985 | Slowinski | 2216090 × (2216091-1) | 130.100 |
1.988 | Colquitt y Welsh | 2110502 × (2110503-1) | 66.530 |
1.982 | Slowinski | 286242 × (286243-1) | 51.924 |
1.979 | Nelson y Slowinski | 244496 × (244497-1) | 26.790 |
1.979 | Noll | 223208 × (223209-1) | 13.973 |
1.978 | Noll y Nickel | 221700 × (221701-1) | 13.066 |
1.971 | Tuckerman | 219936 × (219937-1) | 12.003 |
1.963 | Gillies | 211212 × (211213-1) | 6.751 |
1.961 | Hurwitz | 24422 × (24423-1) | 2.663 |
1.957 | Riesel | 23216 × (23217-1) | 1.937 |
1.952 | Robinson | 22280 × (22281-1) | 1.373 |
1.876 | Lucas | 2126 × (2127-1) | 77 |
1.914 | Powers | 2106 × (2107-1) | 65 |
1.883 | Pervushin | 260 × (261-1) | 37 |
1.772 | Euler | 230 × (231-1) | 19 |
1.588 | Cataldi – Ibrahim ibn Fallus (Siglo XIII) | 218 × (219-1) | 12 |
1.588 | Cataldi – Ibrahim ibn Fallus (Siglo XIII) | 216 × (217-1) | 10 |
Siglo XIII | Ibrahim ibn Fallus | 212 × (213-1) | 8 |
26 × (27-1) | 4 | ||
24 × (25-1) | 3 | ||
22 × (23-1) | 2 | ||
21 × (22-1) | 1 |