Poligonales – Figurados

Los Poligonales – Figurados son números figurados, naturales, en sucesión que se representan como puntos materiales dispuestos en forma de polígono regular.

 

Los primeros en estudiar la propiedad de estos números fueron Pitágoras y sus seguidores de la escuela Pitagórica en el siglo V ane. Influenciados por los conocimientos del imperio Babilónico, descubrieron que con piedras o semillas (números) podían establecer ciertas formas y configuraciones geométricas. Los primeros escritos relevantes sobre estos números son de Euclides de Alejandría, en el siglo IV ane, pero es Hipsicles de Alejandría, dos siglos después, quién da la definición de los mismos.

 

Por ejemplo, el Cuadrado triangular:

Números Poligonales Figurados

 

 

 

 

En el siglo I, Nicómaco de Gerasa sienta las bases de la aritmética actual con su libro «Arithmetike Eisagoge» (introducción a la aritmética) y define los números Triangulares, Cuadrados y Oblongos, además propuso su teorema:

Nicómano de Gerasa
Nicómano de Gerasa

 

Cada número cubo es igual a la suma de los números impares consecutivos.

 

 

Con posterioridad, Diofanto de Alejandría (siglo III- IV) publicó varios libros que serían la base del álgebra y entre ellos “Numeris Multangulis” (El Tratado sobre los números Poligonales), donde amplia estos conocimientos y habla sobre los números Piramidales, Tetragonales, conjeturando que todo número entero positivo puede escribirse con no más de cuatro números cuadrados. Se adelantó en el tiempo a Fermat, Gauss, Euler y otros que también hablan de su desarrollo.

 

 

En 1.638 Fermat publicó su teorema sobre números poligonales escribiendo, «Todo entero positivo es la suma de»:

Diofanto de Alejandría
Diofanto de Alejandría
  • Uno, dos o tres números triangulares
  • Uno, dos, tres o cuatro números cuadrangulares
  • Uno, dos, tres,cuatro o cinco pentagonales
  • y así sucesivamente.

 

 

A continuación un esquema de los mismos:

 

 

Números Poligonales
Bidimensional

Centrado. Estos tipos se forman a partir de un punto central que es rodeado por sucesivas capas poligonales. Cada una de las capas se forma añadiendo un punto más a cada uno de los lados de la capa anterior.

 

Triangular 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109
Cuadrado 1, 5, 13, 25, 41, 61. 85, 113, 145Números Centrados - Cuadrados
Pentagonal 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391
Hexagonal 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469Números Centrado - hexagonal
Heptagonal. 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547
Octogonal 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625
Nonagonal 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703
Decagonal 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781
Estrella 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 93Números estrella - centrado
No centrado. Estas sucesiones se forman tomando la progresión aritmética cuyo primer término es 1, siendo la diferencia entre términos el número de lados del polígono representado menos dos. Cada término se construye como la suma de los anteriores números de la progresión. Triangular 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66Números triangular no centrado
Cuadrado 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121Números cuadrado no centrado
Pentagonal 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153Números pentagono no centrado
L-gonales. Fórmula general para L lados.
Tridimensional Centrado Tetraédrico 1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791
Cubo 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119
Octaédrico 1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159
Dodecaédrico
1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569
Icosaédrico. 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869, 3871, 5083, 6525,
No centrado Tetraédrico. Tetraédrico. (Piramidal triangular)1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455
Octaédrico. 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891
Icosaédrico. 1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260, 3036, 3972, 5083
Dodecaédrico. 1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060, 5456, 7140, 9139, 11480
Piramidal

Cuadrado. Representa una pirámide con una base de cuatro lados.

Fórmula:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 3*3*2+0, 204, 285, 385, 506, 650, 819piramide base cuadrada
Pentagonal. 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183piramide base pentagonal
Hexagonal. 1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925piramide base hexagonal

Heptagonal

1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911
L-gonales. Fórmula general para L lados.
4 dimensiones Centrado «Pentatope» 1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876, 2751, 3906, 5396, 7281
Pirámide cuadrada triangular 0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281
No centrado

«Pentatope». La figura es un tetraedro en cuatro dimensiones. Su representación numérica la encontramos a partir de la quinta fila del triángulo de Pascal, ese es el primer termino (1). El siguiente término (5) es el correspondiente a la siguiente fila siguiente columna, empezando de izquierda a derecha (También lo podemos hacer de la derecha hacia la izquierda, en este caso se restaría uno a la columna), repetiríamos esta acción para el resto de términos.

Fórmula:

Pentatope1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 , 21Pentatope0, 330, 495 , 715, 1001 , 1365

 

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2 thoughts on “Poligonales – Figurados

  1. me ha ayudado mucho , pero me gustaria que hubiese mas informacion historica y quizas una definicion mas extensa sobre lo que son en realidad los numeros poligonales
    saludosss ;p

  2. Hola, como profesora he sugerido a los alumnos que visiten la página. Quizás los datos históricos han sido lo que más les ha sorprendido, después hemos hablado más de los antiguos matemáticos que de los problemas propuestos.
    ¿Podéis incluir ejemplos y algo más de explicación?, excelente síntesis, pero a los alumnos les gustaría más literatura.

    Buen día,
    Marian

    Marian

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