Un número primo es un número natural mayor de 1 que tiene únicamente dos divisores: el 1 y él mismo.
En la definición no está incluido el uno (1) debido a la controversia existente en la sociedad matemática. Hasta finales del siglo XIX y principios del XX, el uno estaba comprendido en cualquier lista, inclusive en la de Derrick Norman Lehmer publicada en 1.914, “List of prime numbers from 1 to 10.006.721”, que se basaba en las de:
- Jakob Philipp Kulik
- Jean Charles Burckhardt
- James Glaisher
- Johann Martin Zacharias Dase
en la actualidad no es aceptado. Una excepción, en la Función 
Hay una curiosidad histórica, el Hueso de Ishango, es una herramienta de hueso que proviene del paleolítico superior alrededor de 25.000 años antes de nuestra era, en él hay muescas que inducen a pensar que se utilizaban distintos tipos de números y donde hay representados una serie de números primos. Aparentemente nada más allá de una coincidencia.
Recogemos una cita de Paul Erdös que nos adentra en la peculiaridad de estos números:
“Isten nem szerencsejátékos az univerzummal, de valami furcsa folyik a prímszámok”.
“Puede que Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo extraño está pasando con los números primos…”.
.
El conocimiento de números primos se remonta a culturas Babilónicas, a la escuela Pitagórica, pero es Euclides de Alejandría en el siglo IV ane, quién los describe por primera vez y al que se le atribuye el planteamiento de la infinitud de estos números.
Un método sencillo y primer procedimiento matemático que permite encontrar números primos es la Criba de Eratóstenes de Cirene que data del siglo III ane y que se mejora posteriormente por Bn-Al Banna al-Murrakushi, siglo XIII, indicando que es suficiente con repetir el proceso hasta los divisores primos menores que √x.
En los albores del conocimiento de los números primos se entendía que los números de la forma 
eran todos primos, pero en 1.536 Hudalricus Regius descubrió que al realizar el cálculo de: 
, no lo era.
Pietro Antonio Cataldi, en 1.603, publica la obtención de los números perfectos sexto y séptimo, determinando que si es primo, entonces n ha de ser primo. También publicó que los números de la forma para n = 17,19, (23), (29), 31 y (37) son primos.
En 1.636, Pierre de Fermat, conjetura que todos los números naturales con la forma: 
son primos.
En 1.644 Marin Mersenne publica Cogitata Physica-Mathematica, indicando que los números de la forma para n= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, (67), 127 y (257), son primos.
Todos los números anteriores, entre paréntesis y la fórmula de Pierre de Fermat, no generan o no son todos números primos. Cataldi se equivocó en el [23, 29 y 37] y Mersenne en el [67, 257], además de olvidársele el [61, 89, 107], Fermat también se equivocó en su fórmula para n = 5, el número obtenido es compuesto, no primo.
Todo lo anterior fue verificado y corregido a lo largo del tiempo por, Leonhard Paul Euler en 1.732 y 1.750, François Édouard Anatole Lucas en 1.876, Ivan Mikheevich Pervushin (Иван Михеевич Первушин) en 1.878 y Ralph Ernest Powers en 1.916.
A partir de las correcciones los primos de Fermat son sólo 5: [3, 5, 17, 257 y 65.537].
Para los primos de Mersenne de la forma 
, tenemos que siendo n primo, no es suficiente para que 
también lo sea. Esta fórmula provee los números primos más grandes conocidos y aunque ya sabemos que no todos son primos, si genera buenos candidatos.
La importancia de estos números puede resultar extraña, pero las transacciones comerciales electrónicas dependen de ellos, existen retos intelectuales que no se han superado, algunos los coleccionan como objetos de culto, raros y bellos al mismo tiempo, otros los quieren para trascender en la historia y obtener gloria por su virtuosismo aritmético.
De todas formas los iremos viendo más en detalle, pero antes una pequeña entrada:
El primo 49 de Mersenne tiene 22.338.618 dígitos y corresponde al número 274.207.281 -1
Ahora nos preguntamos, ¿Por qué se hacen esos cálculos?,………