Son los números positivos, negativos, el cero y los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos. Incluyen a los números racionales e irracionales, se les representa con la letra ℝ. Surgen a partir del siglo XVI por la necesidad que tenían los avances tecnológicos de obtener resultados más exactos.
Los números reales son complejos con parte imaginaria = 0, de modo que ℝ ⊂ ℂ .
Su propiedad más importante es la de poderlos representar por puntos en una línea recta. Para ello elegimos un punto origen, el 0, a partir de este comenzamos a trazar una recta hacia la derecha y otra hacia la izquierda, en las cuales representaremos los números positivos (hacia la derecha) y los negativos (hacia la izquierda). Cada punto de la recta representa a un único número real.
Julius Wilhelm Richard Dedekind descubrió como definir los números reales a partir de los racionales. Para él los números reales eran reducibles a números racionales empleando sólo la teoría de conjuntos, ideó en 1.858 la definición de los números reales mediante cortaduras pero no lo publicó hasta 1.872 como “Schrift Stetigkeit und Irrationalzahlen”.
Contemporáneos de Dedekind, como Georg Cantor, Karl Theodor Wilhelm Weierstraß y Bernard Bolzano fueron los que culminaron la obra sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.
En el siglo XX Abraham Robinson, usando la teoría de modelos, creo una extensión de los números reales, nombrados hiperreales con notación R*.