Reglas de Inferencia

Las Reglas de Inferencia son proposiciones lógicas que relacionan dos o más ideas, cosas, objetos,…, que están formadas por dos partes:

  1. La Premisa
  2. La Conclusión.

La premisa y la conclusión son expresiones lógicas con una o más afirmaciones unidas mediante operadores lógicos [ y, o, no ].  Se escriben como:

 

“Si premisa, entonces conclusión”.

 

Antes de continuar describiendo las reglas de inferencia debemos conocer la simbología que se utiliza en la descripción de esas reglas:

 

Símbolo Nombre Significado
↔,  ⇔,  ≡ Bicondicional Sí y sólo sí
→, ⊃ Condicional Sí … Entonces …
∧, • Conjunción Y
∨ Disyunción O
¬, −, ∼ Negación No
∴ Conclusión Consecuente

 

Reglas.

En la tabla siguiente se recogen dos grupos de reglas, las nueve primeras son formas elementales y validadas mediante tablas de verdad, las siguientes son reglas de Equivalencia que permiten inferir, de cualquier declaración, el resultado de reemplazar cualquier componente de esa declaración, por cualquier otra declaración equivalente. Con ambos grupos de reglas se asegura la integridad del cálculo proposicional.

 

 

Reglas de inferencia elementales   Reglas de inferencia Equivalentes
Nombre   Regla   Nombre Regla
Modus Ponens

Afirma el antecedente para validar el consecuente. Un ejemplo:

Si Ester es mayor entonces Juan José es menor. Ester es mayor. Por lo tanto, Juan José es menor.

p → q

p

∴  q

 Teorema de Morgan

~ (p ∙ q) ≡ (~ p v ~ q)

~ (p v q) ≡ (~ p ∙ ~ q)
Modus Tollens

Negando el consecuente se puede negar el antecedente. Un ejemplo:

Si hubiese ganado, entonces la copa sería suya. Pero la copa no es suya. Por lo tanto, no ganó.

p → q

~ q

∴  ~ p

 Conmutación

(p v q) ≡ (q v p)

(p ∙ q) ≡ (q ∙ p)
Silogismo hipotético

Si tenemos dos condicionales tales que: El antecedente del segundo es el consecuente del primero, se puede inferir como conclusión, un condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del segundo. Un ejemplo:

Si Angelines es operada, entonces Vidal también lo será. Si Vidal es operado, entonces Pedro llorará. Por lo tanto, si Angelines es operada, entonces Pedro llorará.

p → q

q → r

∴  p → r

 Asociación

[p v (q v r)] [(p v q) v r]

[p ∙ (q ∙ r)] [(p ∙ q) ∙ r]

Silogismo disyuntivo

(Modus Tollens Ponens)

Si una de las dos proposiciones es verdadera y no es la primera, entonces se infiere que la última es la verdadera. Un ejemplo:

O Juan José  lo compró o Ester lo hizo. Pero Juan José no lo hizo. Entonces, Ester lo compró.

p v q

~ p

∴  q

 Distribución

[p ∙ (q v r)] ≡ [(p ∙ q) v (p ∙ r)]

[p v (q ∙ r)] ≡ [(p v q) ∙ (p v r)]
Dilema Constructivo

Si dos condiciones son verdaderas y al menos uno de sus antecedentes es verdadero, entonces alguno de sus consecuentes debe de ser verdadero. Un ejemplo:

Si perdemos mañana tendremos bronca, y si ganamos iremos de fiesta. Pero ganamos o perdemos mañana. Por lo tanto, tendremos bronca o fiesta.

(p → q) ∙ (r → s)

p v r

∴ q v s

 Doble negación p ≡ ~ ~ p
Absorción Si p implica q, entonces p implica p y q.
P es “absorbida” por el término q en la consecuencia. Un ejemplo: Si Mcruz viene al cumpleaños, también lo hará Juan. Por lo tanto, si Mcruz viene al cumpleaños, tanto Mcruz como Juan lo harán,

p → q

∴  p → (p ∙ q)

 Transposición (p → q) ≡ (~ q → ~ p)
Simplificación

De la conjunción de premisas se puede inferir una de ellas. Un ejemplo:

“J” es fuerte y “J” es robusto. Por lo tanto, “J” es fuerte.

p ∙ q   ∴ p

p ∙ q   ∴ q

 Implicación material (p → q) ≡ (~ p v q)
Conjunción

La Conclusión es verdadera, únicamente si las dos premisas son verdaderas y es falsa si al menos una de ellas es falsa. Un ejemplo:

Ester tiene un grado. Juan José tiene un grado. Por lo tanto, tanto Ester como Juan José tienen un grado

p

q

∴ p ∙ q

 Equivalencia material

(p ≡ q) ≡ [(p → q) ∙ (q → p)]

(p ≡ q) [(p ∙ q) v (~ p ∙ ~ q)]
Adición

Dada una premisa cualquiera, es posible expresarla como una disyunción acompañado por cualquier otra. Un ejemplo:

Están ganando. Por lo tanto, están ganando o están corriendo.

p

∴ p v q

 Exportación [(p ∙ q) → r] ≡ [p → (q → r)]
Tautología

p ≡ (p v p)

p ≡ (p ∙ p)

 

Tablas de Verdad.

Es el método de prueba básico para evaluar la validez de los argumentos en el cálculo proposicional, en nuestro caso las reglas anteriores. Cada tabla contendrá 2n líneas, donde n es el número de variables. Es evidente que cuanto mayor sea la cantidad de declaraciones (n) más lio tendremos.

 

Tabla de Verdad para Modus Ponens
Variables 1ª Premisa 2ª Premisa Conclusión
p  q p → q q p
V V V V V
V F F F V
F V V V F
F F V F F
Tabla de Verdad para Modus Tollens
Variables 1ª Premisa 2ª Premisa Conclusión
p   q  p → q ~ q ~ p
V V V F F
V F F V F
F V V F V
F F V V V
Tabla de Verdad para el Silogismo Disyuntivo
Variables 1ª Premisa 2ª Premisa Conclusión
p  q p ∨ q ~ p q
V V V F V
V F V F F
F V V V V
F F F V F
Tabla de Verdad para la Absorción
Variables 1ª Premisa Conclusión
p  q p → q p → (p • q)
V V V V
V F F F
F V V V
F F V V
Tabla de Verdad para la Simplificación
Variables 1ª Premisa Conclusión
p  q p • q p
V V V V
V F F V
F V F F
F F F F
Tabla de Verdad para la Conjunción
1ª Premisa 2ª Premisa Conclusión
 p  q p • q
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabla de Verdad para la Adición
Variables 1ª Premisa Conclusión
p  q p p ∨ q
V V V V
V F V V
F V F V
F F F F

 

Tabla de Verdad para el Silogismo Hipotético
Variables 1ª Premisa 2ª Premisa Conclusión
p  q  r p → q q → r p → r
V V V V V V
V V F V F F
V F V F V V
V F F F V F
F V V V V V
F V F V F V
F F V V V V
F F F V V V

 

 

Tabla de Verdad para el Dilema Constructivo
Variables 1ª Premisa 2ª Premisa. Conclusión
 p   q   r   s  (p→q) • (r→s) p ∨ r q ∨ s
V V V V V V V
V V V F F V V
V V F V V V V
V V F F V V V
V F V V F V V
V F V F F V F
V F F V F V V
V F F F F V F
F V V V V V V
F V V F F V V
F V F V V F V
F V F F V F V
F F V V V V V
F F V F F V F
F F F V V F V
F F F F V F F