Teorema del número primo. Es un intento de descubrir cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los números naturales y la cantidad de ellos entre intervalos. Carl Gauss (1.792) y Adrien-Marie Legendre (1.798) dedicaron mucho tiempo y esfuerzo a calcular números primos y a contar los que había en los intervalos [ 0,x ] que eligieron, conjeturaron que la cantidad de números primos venía dada por el valor de ( π, x ) que podía aproximarse a , esta función contador se representa por:
Un ejemplo de ello sería π (10) = 4, obtiene los primos menores que 10 (2, 3, 5, 7).
Una aproximación asintótica al valor de ( π, x ) se expresa de la siguiente forma:
La función es una buena aproximación pero tiene el inconveniente de que el error relativo no disminuye, una importante mejora es la aplicación de la predicción que Gauss realizada en 1.849:
Posteriormente, en 1.852, Pafnuty Lvóvich Chebyshev apoyado en la función z de Euler, afirma que para valores suficientemente grandes de x, ?(x) se encuentra entre 0,992 y 1,105. También indica que existen dos constantes C1 y C2 tales que:
En 1.859 Bernhard Riemann publica su función ζ (zeta). La aplica a una versión alternativa de ( π, x ) :
En 1.870 E. D. F. Meissel encuentra un método para calcular los valores de π(x) ≤ x. Está basado en recurrencias de funciones parciales de criba y calculó en 1.871 , continuó con la investigación y en 1.885 anunció el valor de , este valor fue corregido por D. H. Lehmer en 1.959.
En 1.896 y de forma independiente, Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin demuestran “π(x) ∼ Li(x)” basándose en algunas de las propiedades de la función ζ de Riemann. En 1.901 Niels Fabian Helge von Koch publica “On the Distribution of Prime Numbers”, donde demuestra que la hipótesis de Riemann es equivalente al teorema de los números primos.
En 1.914 John Edensor Littlewood asumiendo la hipótesis de Riemann demuestra que “π(x) ∼ Li(x)” cambia de signo muy a menudo (ambas funciones se cruzan infinitas veces), además de la existencia de un número K>0 tal que es mayor que K y menor que –K.
A partir de aquí y como los acontecimientos se producen rápidamente, los simplificamos en las siguientes tablas no exhaustivas:
Valores de π(x), Li(x) y R(x) comparados
Cuanto mayor es x, la tendencia es llegar a 1