Teorema del número primo

Teorema del número primo. Es un intento de descubrir cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los números naturales y la cantidad de ellos entre intervalos. Carl Gauss (1.792) y Adrien-Marie Legendre (1.798) dedicaron mucho tiempo y esfuerzo a calcular números primos y a contar los que había en los intervalos [ 0,x ] que eligieron, conjeturaron que la cantidad de números primos venía dada por el valor de ( π, x ) que podía aproximarse a , esta función contador se representa por:

Un ejemplo de ello sería π (10) = 4, obtiene los primos menores que 10 (2, 3, 5, 7).

 

Una aproximación asintótica al valor de ( π, x ) se expresa de la siguiente forma:

 

 

 

La función es una buena aproximación pero tiene el inconveniente de que el error relativo no disminuye, una importante mejora es la aplicación de la predicción que Gauss realizada en 1.849:

 

Posteriormente, en 1.852, Pafnuty Lvóvich Chebyshev apoyado en la función z de Euler, afirma que para valores suficientemente grandes de x, ?(x) se encuentra entre 0,992 y 1,105. También indica que existen dos constantes C1 y C2 tales que:

 

 

 

 

En 1.859 Bernhard Riemann publica su función ζ (zeta). La aplica a una versión alternativa de ( π, x ) :

 

 

 

 

En 1.870 E. D. F. Meissel encuentra un método para calcular los valores de π(x) ≤ x. Está basado en recurrencias de funciones parciales de criba y calculó en 1.871 , continuó con la investigación y en 1.885 anunció el valor de , este valor fue corregido por D. H. Lehmer en 1.959.

 

En 1.896 y de forma independiente, Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin demuestran “π(x) ∼ Li(x)” basándose en algunas de las propiedades de la función ζ de Riemann. En 1.901 Niels Fabian Helge von Koch publica “On the Distribution of Prime Numbers”, donde demuestra que la hipótesis de Riemann es equivalente al teorema de los números primos.

 

En 1.914 John Edensor Littlewood asumiendo la hipótesis de Riemann demuestra que “π(x) ∼ Li(x)” cambia de signo muy a menudo (ambas funciones se cruzan infinitas veces), además de la existencia de un número K>0 tal que es mayor que K y menor que –K.

 

 

A partir de aquí y como los acontecimientos se producen rápidamente, los simplificamos en las siguientes tablas no exhaustivas:

 

Fecha Comentario
1.932 Paul Erdös mejora la expresión de Chebyshev proponiendo:
1.933 Stanley Skewes alumno de Littlewood, utiliza también la hipótesis de Riemann para mostrar que el encuentro entre las dos funciones se produce en .
1.941 A. Wintner demuestra que la densidad logarítmica de estos números enteros existe y es positiva.
1.9491.950 Paul Erdös (1.949) y Atle Selberg (1.950) aportan demostraciones más sencillas del teorema sin apoyarse en la función ? de Riemann o similares.
1.955 Skewes vuelve a indicar, en este caso sin asumir la hipótesis de Riemann, que la desigualdad se invierte para
1.959 D. H. Lehmer mejora el algoritmo de Meissel conociéndose como el método Meissel-Lehmer y calcula, en un IBM 701, el valor de
1.962 Rosser y Schoenfeld demuestran que no hay puntos de cruce por debajo de .
1.966 R. Sherman Lehman demuestra que entre  hay más de números enteros sucesivos para π(x) > Li(x).
1.975 R. P. Brent demuestra que no hay puntos de cruce por debajo de .
1.985 J. C. Lagarias, V. S. Miller y A. M. Odlyzko, refinan el método Meissel-Lehmer incorporando nuevas técnicas de criba llegando a
1.987 Herman J. J. te Riele muestra que entre hay más de números enteros sucesivos para ?(x) – Li(x) > 0. Se basa en la hipótesis de Riemann realizando los cálculos con un ordenador CYBER 205 de Control Data y lenguaje Fortran.
1.994 Rubinstein y Sarnak demuestran que la densidad logarítmica es de aproximadamente 0,00000026.
1.996 M. Deléglise y J. Rivat publican el valor de cambiando los métodos de Meissel- Lehmer-Lagarias-Miller-Odlyzko. El algoritmo fue desarrollado en lenguaje C++ con compilador GNU y ejecutado en un ordenador HP 730.
1.999 Carter Bays y Richard H. Hudson prueban que al menos existen valores de x próximos a , mejorando los límites de Skewes, Lehman y te Riele.
2.001 Patrick Demichel y Xavier Gourdon publican el valor de obtenido en un computador personal Pentium III a 1Gh.
2.006 Tadej Kotnik demuestra que no hay puntos de cruce por debajo de .
2.014 En 2.014 David J. Platt y Timothy S. Trudgian demuestran que no hay puntos de cruce por debajo de
2.015 Jan Büthe demuestra que no hay puntos de cruce por debajo de .

 

Valores de π(x), Li(x) y R(x) comparados

 

Valores de ?(x), Li(x) y R(x) comparados

 

 

Cuanto mayor es x, la tendencia es llegar a 1