Amigos – (Thâbit – 321)

Los Amigos o Thâbit – 321, son dos números donde la suma de sus divisores propios coincide. También se pueden definir como los números que tienen una secuencia alícuota de periodo 2. Por ejemplo:

 

220, divisores propios: [1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110] suman 284

284, divisores propios: [1, 2, 4, 71 y 142] suman 220

 

437.456, divisores propios: [ 1 2 4 8 16 19 38 76 152 304 1439 2878 5756 11512 23024 27341 54682 109364 218728 ]
455.344, divisores propios: [ 1 2 4 8 16 149 191 298 382 596 764 1192 1528 2384 3056 28459 56918 113836 227672 ]

 

La búsqueda de estos números comienza en la época de Pitágoras, él decía, “la verdadera amistad es comparable a los números 220 y 284” , más tarde en el siglo IX, Thâbit ibn Qurrá intenta desarrollar una fórmula para encontrarlos, propone que:

 

si p, q y r son números primos, en base a las siguientes fórmulas: p = 3 × 2n − 1 − 1 ; q = 3 × 2n − 1;r = 9 × 22n − 1 − 1  y n es un número natural, ( 2n × p × q ) y ( 2n × r ) son dos números amigos.

 

Sólo conocemos que funcione para n = 2, 4 y 7. De todas formas, a los números obtenidos de 3 × 2n − 1 se les conocen como un número Thabit o 321.

 

Otos matemáticos árabes que trataron la búsqueda de estos números fueron:

 

Abu al-Qasim al-Qurtubi al-Majriti (sigloX), “El madrileño (al-Majriti) de la escuela de traductores de Toledo”.

Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (sigloXI), seguidor de Thâbit ibn Qurrá, publica al-Takmila, libro muy seguido en el Renacimiento.

Kamāl al-Dīn al-Fārisī  (siglo XIII), encontró el par [17.296 – 18.416] está en duda si fué él o al-Majriti.

Muhammad Baqir Yazdi (siglo XVI), encontró el par [9.363.584 – 9.437.056]

 

Mucho más tarde,1.636, Fermat anuncia el par 17.296 y 18.416 en una carta a Mersenne. Descartes también escribe a Mersenne en 1.638 con el par 9.363.584 y 9.437.056. Personas tan importantes no pueden obviar otros conocimientos, entendemos que no tenían red, quizás estaban mirándose el ombligo. Euler también se incorporó a la carrera para obtener números de este tipo, incluyendo algún error corregido a principios del siglo XX.

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Derivados de los números amigos surgen otros:

Si un número es amigo de sí mismo recibe el nombre de número perfecto.

Los números resultantes de ( 2n × p × q ) se denominan abundantes y a los obtenidos de ( 2n × r ) se denominan imperfectos.

 

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