Número Normal

Un número es normal, respecto de una base, si todos los dígitos aparecen con la misma probabilidad en su expansión en esa base. Se denominarían absolutamente normales si es normal respecto de cualquier base. Todo número normal debe ser necesariamente irracional, pero no todo número irracional es normal.

Wac?aw Franciszek Sierpi?ski
Wac?aw Sierpi?ski
Émile Borel
Émile Borel

Las ideas sobre estos números aparecierón en la primera década del siglo XX con los esudios de Félix Édouard Justin Émile Borel y Wac?aw Franciszek Sierpi?ski. Fue Borel quién dió el nombre de normales en 1.909 en el artículo “Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques” y Sierpi?ski el primero que dió un ejemplo en 1.916

 

Sierpi?ski y AlanTuring idearon algoritmos que dan como resultado un número normal en toda base (absolutamente normales), pero existe un problema, su computabilidad es inviable.

 

Verónica Becher y Santiago Figueira trabajaron en las proposiciones de Sierpi?ski dando como resultado un algoritmo recursivo que producía un número computable y absolutamente normal en 2.002. También tomaron los manuscritos de Turing tratando de crear un algoritmo con sus ideas, pero vieron que los resultados eran totalmente inviables (eran doblemente exponenciales), esto fue en 2.007, más tarde en 2.013, V. Becher, Pablo A. Heiber y T. Slaman desarrollan un algoritmo, en base al de Turing que devuelve un número absolutamente normal.

Santiago Figueira
Santiago Figueira
Verónica Becher
Verónica Becher

 

Algunas formas de obtener números normales:

 

  • En base 10

 

  • En binario

 

Pablo Ariel Heiber
Pablo A. Heiber
Theodore A. Slaman
Theodore A. Slaman
  • La concatenación de los múltiplos de cualquier número natural es normal en base 10. Es decir: para cunada n ? N, el número 0, ?n? ?2n? ?3n?… es normal en base 10.

Otros números normales:

  • Constante de Copeland-Ërdos, Copeland y Ërdos demostraron, en 1.945, que este número es normal en todas las bases.
  • Constante de Chaitin ?