Perfectos

Un número perfecto es aquél que es igual a la suma de sus divisores (divisores propios), exceptuando él mismo.

 

El primer registro que se conoce está en los Elementos de Euclides (Siglo III ane), proposición 36 del Libro IX. El método para generar estos números es:

 

  1. Establecer en orden las potencias de dos en una línea, desde el 1 y hasta donde queramos: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , …
  2. Se deben sumar cada vez que se incorpore un término nuevo
  3. Si la suma es un nº primo, lo multiplicamos por la cantidad del último término, el producto será nº perfecto.
  4. Si la suma es un nº compuesto, se añade el siguiente término y se vuelve a examinar el resultado:
    1. Si es compuesto, pasamos de él y agregamos el siguiente término (2).
    2. Si es primo vamos a (3)
  5. Así sucesivamente hasta nuestro objetivo.

Pongamos unos ejemplos:

 

1 + 2 = 3, 3 × 2= 6

1 + 2 + 4 = 7 × 4 = 28

1 + 2 + 4 + 8 = 15 + 16 = 31 × 16 = 496

 

Con posterioridad, Nicómaco de Gerasa alrededor del año 100 escribe Introducción a la aritmética “Arithmetike eisagoge” y da una clasificación de números basada en tres clases y en base a la suma de sus partes alícuotas:

 

  • Abundantes. La suma de sus divisores es mayor que el número
  • Deficientes. La suma de sus divisores es menor que el número
  • Perfectos. La suma de sus divisores es igual al número

Desde un punto de vista religioso, los nº perfectos se unieron a Dios desde muy temprano, en el siglo I “Philo Judaeus” Filón de Alejandría para los amigos, en el tercer capítulo de la “Creación del Mundo” avanza la perfección del nº 6, en el siglo IV-V “Aurelius Augustinus Hipponensis” San Agustín, también para los amigos, escribió en “La Ciudad de Dios”, libro 11, capítulo 30:

 

… Dios prefirió emplear seis días, porque la perfección del número 6 significa la perfección del Universo… no debemos despreciar la ciencia de los números, la cual, en muchos pasajes de la Sagrada Escritura, demuestra ser de servicio eminente al intérprete cuidadoso».

 

Los matemáticos árabes también los estudiaron:

  • Thabit ibn Qurra escribió en el “Tratado sobre números amistosos” en el que examinó cuándo los números de la forma 2 n p , donde p es primo, pueden ser perfectos.
  • Ibn al-Haytham demostró en el “Tratado de análisis y síntesis” que los números perfectos tenían que ser de la forma 2 k -1 (2 k – 1) donde 2 k – 1 es primo,
  • Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus estudia y apostilla la clasificación de números de Nicomachus. Creó una tabla de diez números que decía que eran perfectos, los primeros siete son correctos pero los tres restantes no.

Pietro A. Cataldi , en “Utriusque Arithmetices” propuso que los exponentes p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 dan números perfectos 2 p -1 (2 p – 1), pero no es así, los ssiguientes son incorrectos 23, 29, 31, 37.

 

Esto es sólo el principio, la aceleración de obtención estos números se produce a partir del siglo XX, en la tabla adjunta los mayores y algunos de los históricos.

 

Fecha Autor Número Digitos
2.016 Cooper, Woltman, Kurowski, Blosser y otros 274207281 × (274207281-1) 44.677.235
2.013 Cooper, Woltman, Kurowski, y otros 257885161 × (257885161-1) 34.850.340
2.009 Strindmo, Woltman, Kurowski, y otros 242643801 × (242643801-1) 42.643.801
2.008 Smith, Woltman, Kurowski, y otros 243112609 × (243112609-1) 25.956.377
2.008 Elvenich, Woltman, Kurowski, y otros 237156667 × (237156667-1) 22.370.543
2.006 Cooper, Boone, Woltman, Kurowski, y otros 232582656 × (232582657-1) 19.616.714
2.005 Nowak, Woltman, Kurowski y otros 225964950 × (225964951-1) 15.632.458
2.004 Findley, Woltman, Kurowski y otros 224036582 × (224036583-1) 14.471.465
2.003 Shafer, Woltman, Kurowski y otros 220996010 × (220996011-1) 12.640.858
2.001 Cameron, Woltman, Kurowski y otros 213466916 × (213466917-1) 8.107.892
1.999 Hajratwala, Woltman, Kurowski y otros 26972592 × (26972593-1) 4.197.919
1.998 Clarkson, Woltman, Kurowski y otros 23021376 × (23021377-1) 1.819.050
1.997 Spence, Woltman y otros 22976220 × (22976221-1) 1.791.864
1.996 Armengaud, Woltman y otros 21398268 × (21398269-1) 841.842
1.996 Slowinski y Gage 21257786 × (21257787-1) 757.263
1.985 Slowinski 2216090 × (2216091-1) 130.100
1.988 Colquitt y Welsh 2110502 × (2110503-1) 66.530
1.982 Slowinski 286242 × (286243-1) 51.924
1.979 Nelson y Slowinski 244496 × (244497-1) 26.790
1.979 Noll 223208 × (223209-1) 13.973
1.978 Noll y Nickel 221700 × (221701-1) 13.066
1.971 Tuckerman 219936 × (219937-1) 12.003
1.963 Gillies 211212 × (211213-1) 6.751
1.961 Hurwitz 24422 × (24423-1) 2.663
1.957 Riesel 23216 × (23217-1) 1.937
1.952 Robinson 22280 × (22281-1) 1.373
1.876 Lucas 2126 × (2127-1) 77
1.914 Powers 2106 × (2107-1) 65
1.883 Pervushin 260 × (261-1) 37
1.772 Euler 230 × (231-1) 19
1.588 Cataldi – Ibrahim ibn Fallus (Siglo XIII) 218 × (219-1) 12
1.588 Cataldi – Ibrahim ibn Fallus (Siglo XIII) 216 × (217-1) 10
Siglo XIII Ibrahim ibn Fallus 212 × (213-1) 8
26 × (27-1) 4
24 × (25-1) 3
22 × (23-1) 2
21 × (22-1) 1

 

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