Poligonales – Figurados

Los Poligonales – Figurados son números figurados, naturales, en sucesión que se representan como puntos materiales dispuestos en forma de polígono regular.

 

Los primeros en estudiar la propiedad de estos números fueron Pitágoras y sus seguidores de la escuela Pitagórica en el siglo V ane. Influenciados por los conocimientos del imperio Babilónico, descubrieron que con piedras o semillas (números) podían establecer ciertas formas y configuraciones geométricas. Los primeros escritos relevantes sobre estos números son de Euclides de Alejandría, en el siglo IV ane, pero es Hipsicles de Alejandría, dos siglos después, quién da la definición de los mismos.

 

Por ejemplo, el Cuadrado triangular:

 

 

 

 

En el siglo I, Nicómaco de Gerasa sienta las bases de la aritmética actual con su libro “Arithmetike Eisagoge” (introducción a la aritmética) y define los números Triangulares, Cuadrados y Oblongos, además propuso su teorema:

 

Cada número cubo es igual a la suma de los números impares consecutivos.

 

 

Con posterioridad, Diofanto de Alejandría (siglo III- IV) publicó varios libros que serían la base del álgebra y entre ellos “Numeris Multangulis” (El Tratado sobre los números Poligonales), donde amplia estos conocimientos y habla sobre los números Piramidales, Tetragonales, conjeturando que todo número entero positivo puede escribirse con no más de cuatro números cuadrados. Se adelantó en el tiempo a Fermat, Gauss, Euler y otros que también hablan de su desarrollo.

 

 

En 1.638 Fermat publicó su teorema sobre números poligonales escribiendo, “Todo entero positivo es la suma de”:

• Uno, dos o tres números triangulares
• Uno, dos, tres o cuatro números cuadrangulares
• Uno, dos, tres,cuatro o cinco pentagonales
• y así sucesivamente.

 

 

A continuación un esquema de los mismos:

 

 

Números Poligonales
Bidimensional	Centrado. Estos tipos se forman a partir de un punto central que es rodeado por sucesivas capas poligonales. Cada una de las capas se forma añadiendo un punto más a cada uno de los lados de la capa anterior.	Triangular	1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109
		Cuadrado	1, 5, 13, 25, 41, 61. 85, 113, 145
		Pentagonal	1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391
		Hexagonal	1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469
		Heptagonal.	1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547
		Octogonal	1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625
		Nonagonal	1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703
		Decagonal	1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781
		Estrella	1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 93
	No centrado. Estas sucesiones se forman tomando la progresión aritmética cuyo primer término es 1, siendo la diferencia entre términos el número de lados del polígono representado menos dos. Cada término se construye como la suma de los anteriores números de la progresión.	Triangular	1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66
		Cuadrado	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121
		Pentagonal	1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153
		L-gonales. Fórmula general para L lados.
Tridimensional	Centrado	Tetraédrico	1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791
		Cubo	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119
		Octaédrico	1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159
		Dodecaédrico	1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569
		Icosaédrico.	1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869, 3871, 5083, 6525,
	No centrado	Tetraédrico.	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455
		Octaédrico.	1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891
		Icosaédrico.	1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260, 3036, 3972, 5083
		Dodecaédrico.	1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060, 5456, 7140, 9139, 11480
	Piramidal	Cuadrado. Representa una pirámide con una base de cuatro lados. Fórmula:	1, 5, 14, 30, 55, 91, 3*3*2+0, 204, 285, 385, 506, 650, 819
		Pentagonal.	1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183
		Hexagonal.	1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925
		Heptagonal	1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911
		L-gonales. Fórmula general para L lados.
4 dimensiones	Centrado	“Pentatope”	1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876, 2751, 3906, 5396, 7281
		Pirámide cuadrada triangular	0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281
	No centrado	“Pentatope”. La figura es un tetraedro en cuatro dimensiones. Su representación numérica la encontramos a partir de la quinta fila del triángulo de Pascal, ese es el primer termino (1). El siguiente término (5) es el correspondiente a la siguiente fila siguiente columna, empezando de izquierda a derecha (También lo podemos hacer de la derecha hacia la izquierda, en este caso se restaría uno a la columna), repetiríamos esta acción para el resto de términos. Fórmula:	1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 , 210, 330, 495 , 715, 1001 , 1365

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